Объем данного правильного тетраэдра равен 128

» Правильные ответы

Объем данного правильного тетраэдра равен 128

Формула объема правильного тетраэдра

В рамках подготовки к ЕГЭ можно часто встретить задачу, говорящую нам о том, что объем правильного тетраэдра равен 128 см3 и требующую от нас найти объем сходственной фигуры. Мы уверены в том, что успешное решение под силу каждому абитуриенту — нужно лишь хорошо подготовиться. Тогда можно будет без труда решать и ряд других похожих задач с немного иным условием, например, говорящих нам о том, что объем правильного тетраэдра равен 2 и требующих вычислить координаты вершин сходственной фигуры.

Тогда можно будет без труда решать и ряд других похожих задач с немного иным условием, например, говорящих нам о том, что объем правильного тетраэдра равен 2 и требующих вычислить координаты вершин сходственной фигуры.

Что же, давайте освежим знания и достойно подготовимся к ЕГЭ. В этой статье Вашему вниманию будет представлена как общая формула нахождения объема правильного тетраэдра, так и несколько дополнительных, позволяющих успешно решить данную задачу. Поэтому общая формула говорит нам о том, что объем данного правильного тетраэдра равен :

При этом a является длиной ребра фигуры.
Но что делать, если в начальном условии у нас нет длины ребра, как найти объем правильного тетраэдра в этом случае? Очень просто, ведь есть формулы, отлично подходящие для решения подобной задачи:

Давайте сначала назовем исходные условия к данному рисунку: так, S — это, естественно, площадь грани фигуры, а h — это опущенная на грань высота. В этом случае объем данного правильного тетраэдра вычисляется следующим образом:


Впрочем, если мы знаем угол между двумя гранями фигуры и площади этих граней, можно решить задачу и по-другому. Когда нам нужно узнать будет узнать объем правильного тетраэдра, формула примет вид:

Как видите, в данном случае решение такой, казалось бы, сложной задачи умещается в одну строчку и пару действий.
Хотя может возникнуть другая ситуация, когда правильный тетраэдр задан вершинами в декартовой системе координат. Естественно, у абитуриента может возникнуть вопрос: а как найти объем правильного тетраэдра в подобной ситуации? Для этого нужно решить матрицу, представленную на следующем рисунке:

В данном случае в качестве начального условия даны координаты вершин: первой соответствуют значения (x1, y1, z1 ), второй (x2, y2, z2 ), третьей (x3, y3, z4 ), а четвертой (x4, y4, z4 ).

Как видите, формула нахождения объема правильного тетраэдра может быть различной, поэтому Вам нужно выбирать ту, которая подходит под начальные условия Вашей задачи.
Мы рады, если данная статья оказалась полезной, если она ответила на Ваш вопрос и помогла подготовиться к ЕГЭ или просто освежить знания.

Основные формулы и свойства правильной четырехугольной призмы

Популярное из этой рубрики

Основные формулы и свойства правильной четырехугольной призмы

Основные формулы и свойства правильной четырехугольной призмы

anatoly_drobyshev 26.01. 20:04

объясни как ты сделал все з задания

1)Объём цилиндра = pi*R^2*H; H = 2h; R = 1,5r; по условию первая кружка в 2 раза выше H = 2h; радиус основания r; выразим объём первой кружки через r и h, получим объём первой кружки = pi*r^2*2h; объём второй кружки будет = pi*(1,5r)^2*h = pi*2,25r^2*h; делим объём второй кружки на объём первой = pi*2,25r^2*h/pi *r^2*2h; сокращаем полученную дробь pi на pi; r^2 на r^2; h на h; в числителе остаётся 2,25; в знаменателе 2; 2,25/2 = 1,125; Ответ: 1,125

anatoly_drobyshev 26.01. 20:49

объясни как ты сделал все з задания

2)Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней — Sмн = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8; S1 = 5*3 = 15; S2 = 3 * 5 = 15; S3 = 2 * 5 = 10; S4 = 1 * 5 = 5; S5 = 1 * 5 = 5; S6 = 2 * 5 = 10; S7 = 3 * 3 — 1 = 8; S8 = 3 * 3 — 1 = 8; 15 + 15 + 10 + 5 + 5 + 10 + 8 + 8 = 30 + 20 + 10 + 16 = 76; Ответ: 76

anatoly_drobyshev 28.01. 18:40

объясни как ты сделал все з задания

3)Объём призмы (как и цилиндра) равен произведению площади основания на высоту; в основании призмы лежит треугольник, значит Vпр = Sтр * Нпр; площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, естественно, треугольника Sтр = (а * Нтр)/2. Обозначим среднюю линию треугольника — а; а высоту отсечённого треугольника — h; тогда основание треугольника исходной призмы — 2а; а высота — 2h; подставим эти значения в формулу V = Sтр * Нпр; получим V = (2a * 2h * Hпр)/2; после сокращения на 2 получим: V = 2a * h * Hпр; по условию V = 32; 32 = 2а * h * Hпр; а * h * Hпр = 32/2 = 16; итак получили: а * h * Hпр = 16 ; объём отсечённой призмы Vотс = 0,5 * а * h * Hпр = 0,5 * 16 = 8; Vотс = 8;
Ответ: 8

помогите пожалуйста решить задачу: Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. найдите его объем?

anatoly_drobyshev 29.01. 21:59

Cфера есть ничто иное как шар, точнее оболочка шара, параллелепипед описанный вокруг сферы(шара) — куб; куб всеми шестью сторонами касается сферы, расстояние между противолежащими сторонами куба (точки касания сферы со сторонами куба) равно диаметру сферы, боковым ребрам куба, а диаметр сферы равен 2R, по условию R = 4; следовательно диаметр = 8; боковыми сторонами куба являются квадраты, следовательно все ребра куба равны = 8; объём куба, как и объём любого параллелепипеда. равен произведению площади основания на высоту, основанием куба служит квадрат, высота куба также равна стороне квадрата, следовательно объём данного параллелепипеда равен объёму куба = 8 * 8 * 8 = 512
Ответ: 512
Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ

Читать еще:  Каучсерфинг правильные сообщения чтобы тебя приняли

Помоги те плиз решить задачку: Объем данного правильного тетраэдра равен 128 см3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см3. Кому не сложно помоги те пожалуйста решить!

anatoly_drobyshev 11.02. 19:03

Данная задача не требует от вас вывода формулы тетраэдра, достаточно запомнить что объём тетраэдра равен произведению куба ребра на √2/12: V = a^3 * корень из 2/12 ;
Из формулы следует, что объём тетраэдра зависит только от размера его ребра, а √2/12 является постоянным числовым коэффициентом, для упрощения расчётов обозначим его — k, получим формулу вида V = a^3 * k ;
Обозначим объём данного тетраэдра — V(a), а объём второго тетраэдра — V(a/4);
Из формулы объёма тетраэдра следует следующая формула второго тетраэдра — V(a/4) = (a/4)^3 * k = ((a)^3/64)* k;
Сравнивая формулы данного тетраэдра и второго тетраэдра легко заметить, что формула второго тетраэдра отличается от формулы данного тетраэдра знаменателем 64, следовательно второй тетраэдр в 64 раза меньше данного, т.е V(a/4) = V(a)/64 = 128/64 = 2 ;
V(a/4) = 2 ;
Ответ: 2

anatoly_drobyshev 01.03. 18:57

Цитирую Анна Сергеевна:

Помогите:объем данного правильного тетраэдра равен 2см в кубе.Найдите объем правильного тетраэдра,ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.

Ваша задача отличается от предыдущей(комм ентарий #9 ) только тем, что вам требуется найти объём тетраэдра с большим ребром 3 * а. если вам интересно решение, подставьте в формулу объёма тетраэдра вместо (а/4) (3 * а), получите решение вашей задачи;
Объём увеличиться в 27раз, 2 * 27 = 54;
Объём искомого тетраэдра = 54

Около шара описан цилинд,площадь поверхности которого равна 27.Найти площадь поверхности шара.Подскажите как решить

anatoly_drobyshev 10.04. 18:25

Около шара описан цилинд,площадь поверхности которого равна 27.Найти площадь поверхности шара.Подскажите как решить

Посмотрите комментарий #59 в задании В9
Если возникнут вопросы, спрашивайте.

Тренировочные задания из сборников ЕГЭ года

В7, В9, В12 г. из сборников

В7. В треугольнике АВС угол А равен 29 градусов, АС=ВС. Найдите угол С.

В9. Объём цилиндра равен 12. Чему равен объём конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?

В12. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: АВ = 27, А D = 36, АА1 = 10. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины D. D 1 и В.

В7. В треугольнике АВС АС = ВС, угол С равен 120 градусов, АВ = корень из 3. Найдите АС.

В9. Шар объёмом 42 , вписан в куб. Найдите объём куба.

В12. Стороны оснований правильной четырёхугольной пирамиды равны 6, боковые рёбра 5. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

В7. Диагонали трапеции АВС D с основаниями АВ и С D пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 11, D С = 33, АС = 28.

В9. Объём данного правильного тетраэдра равен 64 см 3. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см 3.

В12. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30 0. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

В7. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

В9. Шар объёмом 21 , вписан в куб. Найдите объём куба.

В12. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: АВ = 3, А D = 4, АА1 = 32. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины С, С1 и А.

В7. Острые углы прямоугольного треугольника 87 0 и 3 0. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

В9. В кубе АВС D точки Е, F. Е1 и F 1 являются серединами рёбер ВС, D С, В1 С1 и D 1 C 1 соответственно. Объём призмы, отсекаемой от куба плоскостью Е FF 1. равен 4. Найдите объём куба.

В12. Диаметр основания конуса равен 14, а длина образующей – 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

В7. Острые углы прямоугольного треугольника 69 0 и 21 0. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

В9. Шар объём которого равен , вписан в куб. Найдите объём куба.

В12. В правильной треугольной пирамиде S АВС точка К – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что S К = 10, площадь боковой поверхности равна 60. Найдите длину отрезка АВ.

В7. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых равен 56 0. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 4 литра воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в литрах.

В12. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а высота боковой грани пирамиды, проведённая к ребру основания, равна . Найдите боковое ребро пирамиды.

В7. В треугольнике АВС А D – биссектриса, угол С равен 21 0. угол СА D равен 30 0. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

В9. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объём.

В12. В правильной четырёхугольной пирамиде S АВС D точка О – центр основания, S – вершина, С S = 17, В D = 16. Найдите длину S О.

В7. Острые углы прямоугольного треугольника 63 0 и 27 0. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

16+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01..

Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 20.05..

Адрес редакции: 214011, РФ,
г. Смоленск, ул. Верхне-Сенная, 4.
Контакты: info@infourok.ru

Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: ООО «Инфоурок» (Свидетельство № 581999 )

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читать еще:  Не всегда является правильным данный

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим



Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим


Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Объем данного правильного тетраэдра равен 128

  1. Объем данного правильного тетраэдра равен 2 см 3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.
  2. Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см 3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра.
  3. Объем конуса равен 66 см 3 . Чему равен объем цилиндра, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный конус.
  4. Объем цилиндра равен 12 см 3 . Чему равен объем конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр.
  5. Бильярдный шар весит 200 г. Сколько граммов будет весить шарик вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?
  6. Бетонный шар весит 0,5 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из того же бетона?
  7. Радиус основания первого конуса в 2 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 3 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 22 см 2 ?
  8. Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 18 см 2 ?
  9. Объем данного правильного тетраэдра равен 128 см 3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра.
  10. Объем данного правильного тетраэдра равен 3 см 3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза больше ребра данного тетраэдра.
  11. Объем цилиндра равен 1 см 3 . Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.

Объем цилиндра равен 1,5 см 3 . Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.

  • Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 18 см 2 ?
  • Радиус основания первого конуса в 3 раза больше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза меньше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 18 см 2 ?
  • Шар объемом 6 м 3 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.
  • Шар объемом 8 м 3 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.
  • Кубик весит 10 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала?
  • Кубик весит 800 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 2 раза меньше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала?
  • Бильярдный шар вести 360 г. Сколько граммов будет весить шарик вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?
  • Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из того же бетона?

    Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

    Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

    Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

    Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

    Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

    Свойства тетраэдра.

    Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

    Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

    Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

    Типы тетраэдров.

    Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

    У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

    Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

    Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

    Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

    Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

    Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

    Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

    Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

    • есть сфера, которая касается каждого ребра,
    • суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
    • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
    • окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
    • каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
    • перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

    Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

    Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

    Формулы для определения элементов тетраэдра.

    Высота тетраэдра:

    где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

    Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

    где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

    Основные формулы для правильного тетраэдра:

    Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

    h — высота, опущенная на основание;

    r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

    Параллелепипед, описанный около тетраэдра. Объем тетраэдра

    параллелепипед тетраэдр медиана

    Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр А1С1ВD. Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, параллельную другой прямой. Проведем через каждое ребро данного тетраэдра плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведенные три пары параллельных плоскостей при взаимном пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDА1В1С1D1 (рис. 5), который называется описанным около данного тетраэдра А1С1ВD. Ребра данного тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, а середины ребер тетраэдра — центрами этих граней. Но отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, тетраэдра — это его бимедианы. Отсюда следует, что все бимедианы тетраэдра проходят через центр О параллелепипеда и делятся этим центром пополам. Это означает, что центр параллелепипеда, описанного около тетраэдра, совпадает с центроидом данного тетраэдра.

    Параллельные грани АВСD и А1В1С1D1 этого параллелепипеда содержат скрещивающиеся ребра A1С1 и ВD данного тетраэдра А1С1ВD. Это означает, что расстояние между основаниями АВСD и A1B1C1D1 параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равно его высоте h и равно расстоянию между скрещивающимися ребрами А1С1 и ВD тетраэдра А1С1ВD.

    Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 можно разбить на 5 тетраэдров — данный тетраэдр А1С1ВD и еще четыре тетраэдра: А1АВD; ВВ1А1С1; С1СВD; DD1А1С1. Объем каждого из четырех последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания АВСD, т.е. одной шестой части объема V полученного параллелепипеда.

    где ц — угол между диагоналями АС и ВD параллелограмма AВСD. А так как AС || A1С1, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A1С1 и BD тетраэдра А1С1 ВD также равна ц.

    Объем тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между прямыми, содержащими эти ребра.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector