Объем данного правильного тетраэдра

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим



Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим


Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Объем данного правильного тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD.

(2) ,

где ∠ (AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠ (ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠ (AB,CD) – угол между этими ребрами.

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD, AC × BD,AD × BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

Объем данного правильного тетраэдра

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Читать еще:  Как правильно резать плитку плиткорезом видео

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен 1,8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен 2,4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тет­ра­эд­ра равен 2,1. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объем тетраэдра равен 5,6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

» Правильные ответы

Объем данного правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра (Формула)

Тетраэдр представляет собой один из 5-ти существующих правильных многоугольников, точнее многогранников, в котором грани и есть правильные многоугольники.

Формула вычисления объема правильного тетраэдра

Найти или рассчитать объем правильного тетраэдра можно двумя способами как по общепринятой формуле для всех видов тетраэдра, так и по иной формуле только для правильного тетраэдра.

Объем правильного тетраэдра находится согласно следующей формуле:

При этом а является длинной ребра нашей фигуры.

Но бывают случаи, когда в начальном условии не указана длина ребра тетраэдра. В такой ситуации найти объем фигуры весьма легко, нужно лишь использовать формулу, которая подходит для решения данной задачи.

Для начала давайте обозначим все исходные условия.

  • S – площадь
  • h – высота, опущенная на грань

В данной ситуации объем правильного тетраэдра необходимо находить по следующей формуле:

Хотя, если Вам известен угол, расположенный между двумя гранями тетраэдра и непосредственно площади данных граней, то решить задачу можно совершенно иным способом. Формула для вычисления объема фигуры будет иметь следующий вид:

Как Вы можете видеть, казалось бы сложная задача, решается формулой, записанной всего лишь одной строчкой.

Иногда могут встречать и другие ситуации. Например, нам дали правильный тетраэдр, вершины которого заданы в декартовой системе координат. Для нахождения объема правильного тетраэдра в этой задаче, необходимо решить матрицу.

В этом случае в качестве первоначального условия нам известны лишь координаты вершин: для первой значения (х1, y1, z1), для второй соответствует значение (x2, у2, z2), для третьей (x3, у3, z3) и соответственно для четвертой (x4, у4, z4).

Формулы между собой достаточно различаются, поэтому прежде чем Вы приступите к решению задачи, внимательно ознакомьтесь с начальными условиями, чтобы выбрать правильную формулу.

Для нахождения объему любого тетраэдра можно использовать общую формулу:

Где а и b являются длинами ребер, которые между собой скрещиваются, а c является расстоянием между прямыми, содержащих их. – это угол между прямыми.

Как увеличится объем тетраэдра если ребра увеличить/уменьшить в 2 раза

Поскольку объем вычисляется по формуле:

где а – величина ребра в принятых единицах измерения, то при увеличении ребер в два раза будут составлять 2 в кубе = 8. то есть правильным ответом будет: в восемь раз.

Другими словами увеличение либо уменьшение объема правильного тетраэдра пропорционально кубу увеличения либо уменьшения его ребра.

Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.
Вычисление объёма правильного тетраэдра.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить объём правильного тетраэдра. Программа для вычисления объёма правильного тетраэдра не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями. т.е. отображает процесс получения результата.

Читать еще:  Питание похудения правильно правильный

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac 2 3 )

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд:
Ввод: -15/7
Результат: ( -1frac 5 7 )

Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

На сайте www.etudes.ru представлен математический этюд «Увеличение объема выпуклых многогранников», в котором рассматривается вопрос: «Можно ли деформировать правильный тетраэдр так, чтобы его объем увеличился?».

Оказывается можно. Здесь мы дополним его соответствующими вычислениями и покажем, что можно еще чуть-чуть увеличить объем тетраэдра по сравнению с тем, что предлагается в этюде.

Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в

этюде, предложенный Д. Бликером (David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. — 1996. — V. 43. — P. 505-526. ). Для этого на гранях тетраэдра нарисуем дополнительные линии, как показано на рисунке.

Здесь A’, B’, C’ – середины соответствующих сторон грани ABD тетраэдра ABCD, A1A’, B1B’, C1C’ равные перпендикуляры к этим сторонам, A1B1C1 – правильный треугольник, стороны которого равны удвоенным перпендикулярам.

Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого

Аналогичные линии проведем на остальных гранях тетраэдра. На рисунке изображены такие линии на двух соседних гранях ABD и BCD тетраэдра.

Продавим середины ребер тетраэдра внутрь так, чтобы нарисованные линии стали ребрами нового многогранника, а половины ребер тетраэдра лежали на его гранях. Получим невыпуклый многогранник, составленный из четырех правильных шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника – основания этих пирамид и четыре правильных треугольника, лежащие на гранях исходного тетраэдра.

Пусть исходный тетраэдр – единичный

Напомним, что объем единичного тетраэдра равен

Обозначим x длину отрезка A’A1. Тогда длина отрезка A1B1 равна 2x. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен. а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна. Таким образом, имеем уравнение. решая которое, находим. Следовательно, сторона a основания правильной шестиугольной пирамиды равна .

Пусть O – центр основания пирамиды

Отрезок OA’ является радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, его длина равна

По теореме Пифагора находим DO – высоту h правильной шестиугольной пирамиды,

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ является высотой грани пирамиды и его длина равна 0,5.

Напомним, что объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h вычисляется по формуле Подставляя в эту формулу значения a и h, получим значение V1 объема правильной шестиугольной пирамиды .

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром 3a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром a. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Таким образом, имеем

Подставляя в формулу объема значения a и h, получим

Для приближенного вычисления этого объема воспользуемся компьютерной программой “Maple”. Получим V = 0,162298…. Его отношение к объему единичного тетраэдра приближенно равно 1,377142…. Именно во столько раз увеличился объем тетраэдра при его деформации.

Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился

многогранник с еще большим объемом. Для этого, как и раньше, обозначим x длину отрезка A’A1, но не будем предполагать, что длина отрезка A1B1 равна 2x, а проведем вычисления его длины в общем случае.

А именно, обозначим b длину отрезка A1B1. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен. а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна. Таким образом, имеем равенство. выражая из которого b, получим .

При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый

многогранник, состоящий из шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре основания этих пирамид и четыре правильных треугольника. Однако основания шестиугольных пирамид в общем случае не являются правильными шестиугольниками. Это будут шестиугольники, у которых три стороны равны b, три стороны равны a=2x и углы равны 120о.

Читать еще:  Поставь запятую правильно вводные часть вторая

Площадь S такого шестиугольника выражается формулой

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ равен 0,5 и является высотой ее грани.

Длина отрезка OA’ выражается формулой

Высота h пирамиды выражается формулой

Объем V1 выражается формулой

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром b+2a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром b. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Подставляя вместо b, S и h их выражения через a, получим, что объем V искомого многогранника является функцией от a, где a изменяется от нуля до .

С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой

функции и найти ее наибольшее значение. Оно приближенно равно 0,1623025232 и принимается при a = 0,2708396361.

Отношение этого объема к объему исходного тетраэдра приближенно равно 1,377182577. Это немного больше, чем в случае, рассмотренном в математическом этюде об увеличении объема выпуклых многогранников.

Объем данного правильного тетраэдра

Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см 3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см 3 .

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Ответы и объяснения

Правильные тетраэдры подобны, коэфициент подобия в данном случае равен 2. Объёмы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе. Объём маленького тетраэдра равен 64:2 в кубе=64:8=8. Ответ 8 см. кубических

Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а -ребро тетраэдра

Формула бъема правильного тетраэдра (V):

Калькулятор — вычислить, найти объем правильного тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр — частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим



Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Геометрическая фигура, поверхность которой ограничена 4-мя треугольниками, представляет собой тетраэдр. Треугольники тетраэдра называются его гранями, а стороны треугольников — его ребрами. У тетраэдра имеется по четыре вершины и грани, а также шесть ребер. Если грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, то это — правильный тетраэдр. В данной объемной фигуре все ребра равны. Зная длину ребра тетраэдра, его объем определяется по формуле:

В данной формуле: a — длина ребра тетраэдра.

Т. е. объем тетраэдра равен одной двенадцатой произведения длины ребра в кубе на корень квадратный из 2.

Быстро и правильно вычислить объем тетраэдра можно с помощью онлайн калькулятора.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector