Яка з нерівностей є правильною

Яка з нерівностей є правильною

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a .

Функція, яку можна задати формулою у = ах 2 + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х 2 , у=х 2 , у = х 2 + 3, у = (х+4) 2 . їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах 2 — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а 2 +bх+с і у=ах 2 — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х 2 —множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = 2 — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х 3 , у=зростаючі, а функції у = —2х, у=спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х 2 на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х п , де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х 2 , у = х 3 , у = х 4 , у = х 5 .

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).

Нерівності (підготовка до ДПА)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

У математиці часто доводиться порівнювати числа. Це роблять за такими правилами:

1) Число а більше від числа b, якщо різниця a – b є додатним числом; записують — a > b.

2) Число а менше від числа b, якщо різниця a – b є від’ємним числом; записують — a > b.

3) Число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю; записують a = b.

При цьому для довільних дійсних чисел а і b виконується тільки одне з цих трьох співвідношень, бо різниця може бути або додатною, або від’ємною, або дорівнювати нулю.

Якщо числа не рівні, то результат порівняння чисел записують за допомогою числових нерівностей. При цьому використовують знаки нерівностей:

· Якщо модуль деякого числa a менший від числa b, то число a більше зa число, протилежне числу b, і менше від числa b. Якщо |a| b, то a > b aбо a 2 рівносильн a нерівностям x > 1, x – 1 > 0 т a іншим .

Тотожн a нерівність — це нерівність , пр a вильн a при всіх вк a з a них зн a ченнях змінних .

З теорем рівносильності виплив a ють т a кі вл a стивості нерівностей зі змінними :

1. У будь-якій чaстині нерівності можнa розкрити дужки.

2. У будь-якій чaстині нерівності можнa звести подібні додaнки.

3. Будь-який член нерівності можнa перенести з однієї чaстини в іншу, зaмінивши його знaк нa протилежний.

4. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме додaтне число.

Читать еще:  Тротуарная плитка как правильно разрезать видео

5. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме від’ємне число, зaмінивши при цьому знaк нерівності нa протилежний.

Розв’язування нерівностей з однією змінною

Розв’язaння нерівностей зводиться до зaміни його рівносильними більш простими — до нaйпростіших нерівностей виду x > a, x 8, з другої x –1) і n — нaтурaльне число, то n-й степінь суми 1 + х більше aбо дорівнює сумі числa 1 і добутку чисел nx: (1 + x) n ≥ 1 + nx. Н ап риклад : Доведіть, що при кожному дійсному значенні а нерівність є справедливою.

Складемо різницю лівої і правої частин нерівностей й перетворимо її:

.

При будь-якому значенні а утворена різниця – додатна, тому що значення виразу є невід’ємним, а значення виразу – додатним. Отже, при будь-якому значенні а нерівність є справедливою.

Нерівність з однією змінною

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один зі знаків нерівності: > (більше), 4, а число -1 не є розв’язком даної нерівності.

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язками нерівності є деяка множина чисел.

У таблиці наведено деякі числові множини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до заміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Наприклад: Нерівність х+2>3 рівносильна нерівності х+2-2>3-2, тобто х>1.

Наприклад: рівносильна нерівності , тобто х>6.

Перетворимо ліву і праву частини нерівності, тобто розкриємо дужки:

Перенесемо члени, що містять змінну до лівої частини нерівності, а члени, які не містять змінну, у праву частину нерівності, при цьому змінимо знаки членів на протилежні:

Зведемо подібні в лівій і правій частинах нерівності:

Поділимо обидві частини нерівності на -5, змінивши знак нерівності на протилежний:

Отже, розв’язком нерівності є проміжок (-∞;-2].

Системи нерівностей з однією змінною

Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Системою нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

— системи нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

Наприклад: х=3 є розв’язком системи нерівностей

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

1) розв’язати кожну нерівність;

2) знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків кожної з нерівностей.

Обидві нерівності справедливі при х≤-1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х≤-1,5 або числового проміжку (-∞;-1,5].

Розв’язати нерівність −8x +11 , тобто ми перейдемо до нерівності протилежного сенсу.
Отримаємо:

x>3 — розв’язок заданої нерівності.

Для запису розв’язку можна використовувати два варіанти: x>3 або у вигляді числового проміжку.

Позначимо множину розв’язків нерівності на числовій прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку.

Відповідь: x>3 або x∈(3;+∞)

Початковий і середній рівні

1.Виберіть три правильні нерівності: А) Б) В) Г) Д)

2.Укажіть правильні твердження:

1)Якщо то 2)якщо то

3)якщо то 4) якщо , то

3.Доберіть до кожної умови (А-Д) правильний висновок (1-5).

Числові рівності та нерівності, їх властивості;

Означення: вираз, який не містить змінних, тобто складається тільки з цифр, знаків операцій і можливо дужок, називається числовим виразом.

Наприклад: “7”, (2+8)●7-5.

Всякий числовий вираз пов’язаний з деяким число, яке ми одержимо, якщо виконаємо відповідні дії над числами. Це число називається значенням числового виразу. Так, наприклад значенням виразу “3” є число 3, а значенням числового виразу (8-3)●3 є число 15. Зазначимо, що існують числові вирази, які у певній числовій множині не мають числового значення. Наприклад, вираз (5-3):3 у множні натуральних чисел немає числового значення, але в множині раціональних чисел його числовим значенням є число ⅔. Щоб знайти числове значення виразу, пропонуємо самостійно виконати наступну вправу.

Вправа: знайти числове значення виразу 27:(72-72). Що можна сказати про числове значення цього виразу?

2. Візьмемо два числових вирази і сполучимо їх знаком рівності. Ми одержимо деяке висловлення, яке називається числовою рівністю. Рівність, як і всяке висловлення, може бути істинною чи хибною. Наприклад, рівність 24_2=48-36 – істинне висловлення, а рівність 24+7=42+5 – хибне. Таким чином, якщо сполучити знаком рівності рівні числові вирази, то одержимо істинну числову рівність; якщо ж сполучити знаком рівності два числових вирази, значення яких різні, то одержимо хибну числову рівність.

Читать еще:  Правильно крыть крышу стеклоизолом

Із шкільного курсу математики відомі такі властивості істинних числових рівностей:

Властивість 1: якщо а=b – істинна числова рівність, а с – будь-яке дійсне число, то а+с=b+с – також істинна числова рівність.

Цю властивість інколи формулюють і так: якщо до обох частин істинної числової рівності додати одне і те ж саме дійсне число, то знову одержимо істинну рівність. Наприклад, оскільки 12-5=28:4 істинна числова рівність, то і 12-5+47=28:4+47 також істинна рівність. Ця властивість дозволяє переносити числа із однієї частини рівності в іншу, змінюючи при цьому знак числа на протилежний.

Властивість 2: якщо а=b – істинна числова рівність і с – будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, то ас=bc – також істинна числова рівність.

Цю властивість інколи формулюють і так: якщо обидві частини істинної числової рівності помножити на одне й теж саме, відмінне від нуля дійсне число, то одержимо істинну числову рівність. Наприклад, оскільки рівність 12-5=28:4 – істинна числова рівність, то і (12-5)●49=28:4●49 – істинна числова рівність.

Оскільки числові рівності є висловленнями, то над ними можна виконувати операції кон’юнкції, диз’юнкції, імплікації, заперечення, еквіваленції. Наприклад: висловлення “3+4=7Ù14:2=7” є кон’юнкцією висловлень, а запереченням висловлення а=b є висловлення а≠b. У початкових класах істинні числові рівності називають правильними, а хибні – неправильними. Ці поняття допомагають учням не тільки удосконалювати обчислювальні навички, але також і глибше вивчати теоретичний матеріал. Це відбувається в процесі виконання вправ такого виду:

а) розстав дужки, щоб рівності були правильними: 15-6●2=18;

б) замість зірочок поставити знак дії так, щоб одержати правильні рівності: 4*2=2; 5*4=20;

в) перевірити розв’язання таких прикладів: 88_8=11, 96_6=13.

Якщо сполучити одним із знаків >, 4:3, 32-6 b і с>d (чи аb і с b, а=b, а b; 2) якщо різниці чисел а-b дорівнює нулю, то вважають, що а=b; 3) якщо різниця чисел а-b від’ємна, то вважають, що а b, то b b, а тому різниця а-b – додатна. Помноживши її на -1, одержимо від’ємне число –(а-b)=b-а. Це означає, що b b)Ù(b>c))→(а>с).

Доведення:

Оскільки а>b і b>c, то різниці а-b і b-c будуть додатними. Тоді сума двох додатних чисел (а-b)+(b-c) також буде додатною. Отже, маємо (а-b)+(b-c)=а-с. Це число додатне, а тому а>c. Властивість доведено.

Властивість 3: для будь-якого а нерівності а>а і а а – істинне, а тому різниця а-а — додатна. Тоді на основі властивості 1 маємо а 0, а це суперечить теоремі про єдиність різниці.

Властивість 4: для будь-яких а, b, c якщо a>b, то а+с>b+с.

Доведення:

За умовою а>b, тобто а-b>0. Додамо і віднімемо в лівій частині число с, тоді матимемо (а+с)-(b+с)>0. Отже, а+с>b+c. Властивість доведено.

Властивість 5: для будь-яких а, b, c якщо a>b і c>0, то ас>bc, а при c b, а тоді а-b>0. Отже, при с>0 (a-b)c>0 або ac-bc>0, тобто ac>bc.

Властивість 6: нерівності однакового смислу можна почленно додавати, залишивши спільний знак нерівності.

Доведення:

Нехай дано дві нерівності однакового смислу, тобто a>b і c>d. За умовою a>b, а тому на основі властивості 4 маємо a+с>b+с. Аналогічно з нерівності c>d маємо b+c>b+d. Тоді на оcнові властивості 6 із a+с>b+с і b+c>b+d маємо a+с> b+d. Властивість доведено.

Властивість 7: нерівності протилежного смислу можна почленно віднімати, поставивши знак тієї нерівності, від якої віднімали.

Властивість 8: нерівності однакового смислу з додатними членами можна почленно перемножати, поставивши спільний знак нерівності.

Пропонуємо студентам довести самостійно властивості №№ 7, 8 числових нерівностей. Властивості №№ 1-5 були сформульовані і доведені для нерівностей із знаком “>”. Однак і для нерівностей із знаками “

9 клас Алгебра Контрольна робота №2 Варіант 1 Числові нерівності та їх властивості. Доведення нерівностей

9 клас Алгебра Контрольна робота №2 Варіант 1

Числові нерівності та їх властивості. Доведення нерівностей

1. Яке з чисел більше х чи у, якщо х-у=-0,1

а) х>у б) х у б) в) г) х 6 б) 3> в) -0,8 >-0,7 г)

Читать еще:  Правильное основание под тротуарную плитку

5. Додайте почастинно нерівності 7 5. Порівняйте з нулем значення виразу: 3а-0,5

9. Довести нерівність: (х+3)(х-10) у б) х у

3. Розмістіть у порядку зростання числа: х-3, х-0,5; х+1; х+1,5; х.

а) х+1; х+1,5; х; х-0,5; х-3.

б) х; х+1,5; х+1; х-0,5; х-3.

в) х+1,5; х+1; х; х-0,5; х-3

г) х-3; х-0,5; х; х+1; х+1,5

4. Яка з нерівностей є правильною:

а) >3 б) -0,8 >-0,7 в) г) 1,7>0,6

5. Додайте почастинно нерівності 0,5 (х+12)(х-7)

10. Відомо, що 2,5 у б) х у б) в) г) х 6 б) 3> в) -0,8 у б) х у б) в) г) х 16 б) 2> в) -0,6 >-0,7 г)

5. Додайте почастинно нерівності 5 у б) х у б) в) г) х 6 б) 3> в) -0,8 >-0,7 г)

5. Додайте почастинно нерівності 7 у б) х у

3. Розмістіть у порядку зростання числа: х-3, х-0,5; х+1; х+1,5; х.

а) х+1; х+1,5; х; х-0,5; х-3.

б) х; х+1,5; х+1; х-0,5; х-3.

в) х+1,5; х+1; х; х-0,5; х-3

г) х-3; х-0,5; х; х+1; х+1,5

4. Яка з нерівностей є правильною:

а) >3 б) -0,8 >-0,7 в) г) 1,7>0,6

5. Додайте почастинно нерівності 0,5 4. Порівняйте з нулем значення виразу: 5а+1,5

9. Довести нерівність: (х-6)(х+4) 7. Порівняйте з нулем значення виразу: 4а-1,5

9. Довести нерівність: (х+6)(х-9)>(х+11)(х-14)

10. Відомо, що 0,5 5. Порівняйте з нулем значення виразу: 3а-0,5

9. Довести нерівність: (х+3)(х-10) (х+12)(х-7)

Теоретичний матеріал «Нерівності зі змінними. Розв’язування лінійних нерівностей та їх систем»

Публікація містить блок навчальної інформації згідно Комбінованої системи М.П. Гузика з алгебри для учнів 9 класу, тобто весь теоретичний матеріал даної теми, викладений у зручному і короткому вигляді. Можна використати на уроках засвоєння нових знань та умінь.

Нерівності із змінними. Розв’язування лінійних нерівностей та їх систем

«У самій математиці головні засоби

досягти істини – індукція та аналогія»

П. Лаплас

Питання

  1. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки.
  2. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною.
  3. Розв’язування систем лінійних нерівностей.
  4. Розв’язування подвійних нерівностей.

Література

Істер О.С. Алгебра: Підручник для 9 класу, §4 – 7, стор. 29 – 67.

1. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки

1.1

Нерівність, яка містить невідоме, називають нерівністю зі змінною.

1.2

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність.

1.3

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки, або довести, що їх немає

1.4

Усі розв’язки нерівності утворюють множину розв’язків нерівності.

1.5

Якщо нерівність розв’язків немає, то кажуть, що множиною її розв’язків є порожня множина

1.6

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

і

1.7

Множину розв’язків нерівності називають числовим проміжком.

1.8

Якщо точки – кінці проміжку включені в проміжок, їх позначають зафарбованими кружечками, якщо не включені – порожніми кружечками (їх ще називають «виколотими» точками ).

Якщо точки – кінці проміжку включені в проміжок, то для запису використовують квадратні дужки, якщо не включені – круглі дужки.

2. Розв’язування лінійних нерівностей

2.9

Нерівності виду називаються лінійними нерівностями з однією змінною.

2.10

Властивості, які використовуються під час розв’язування нерівностей:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то утвориться нерівність, рівносильна даній.
  2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то утвориться нерівність рівносильна даній.
  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то утвориться нерівність рівносильна даній.

3. Розв’язування систем лінійних нерівностей

3.11

Якщо необхідно знайти спільні розв’язки двох чи більше нерівностей, то говорять, що треба розв’язати систему нерівностей.

3.12

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому правильною є кожна з нерівностей системи.

3.13

Розв’язати систему нерівностей з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести їх немає.

3.14

Схема розв’язування систем нерівностей

  1. Розв’язати кожну нерівність системи.
  2. Зобразити множину розв’язків кожної з нерівностей на координатній прямій.
  3. Знайти переріз цих множин, який і буде множиною розв’язків системи.
  4. Записати відповідь.

4. Розв’язування подвійних нерівностей

4.15

Щоб розв’язати подвійну нерівність потрібно записати її у вигляді системи двох нерівностей і розв’язати цю систему.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector