Яка з рівностей є правильною

Яка з рівностей є правильною

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a .

Функція, яку можна задати формулою у = ах 2 + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х 2 , у=х 2 , у = х 2 + 3, у = (х+4) 2 . їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах 2 — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а 2 +bх+с і у=ах 2 — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х 2 —множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = 2 — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х 3 , у=зростаючі, а функції у = —2х, у=спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х 2 на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х п , де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х 2 , у = х 3 , у = х 4 , у = х 5 .

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).

Нерівності (підготовка до ДПА)

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

У математиці часто доводиться порівнювати числа. Це роблять за такими правилами:

1) Число а більше від числа b, якщо різниця a – b є додатним числом; записують — a > b.

2) Число а менше від числа b, якщо різниця a – b є від’ємним числом; записують — a > b.

3) Число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю; записують a = b.

При цьому для довільних дійсних чисел а і b виконується тільки одне з цих трьох співвідношень, бо різниця може бути або додатною, або від’ємною, або дорівнювати нулю.

Читать еще:  Правильно зарядить щелочной аккумулятор

Якщо числа не рівні, то результат порівняння чисел записують за допомогою числових нерівностей. При цьому використовують знаки нерівностей:

· Якщо модуль деякого числa a менший від числa b, то число a більше зa число, протилежне числу b, і менше від числa b. Якщо |a| b, то a > b aбо a 2 рівносильн a нерівностям x > 1, x – 1 > 0 т a іншим .

Тотожн a нерівність — це нерівність , пр a вильн a при всіх вк a з a них зн a ченнях змінних .

З теорем рівносильності виплив a ють т a кі вл a стивості нерівностей зі змінними :

1. У будь-якій чaстині нерівності можнa розкрити дужки.

2. У будь-якій чaстині нерівності можнa звести подібні додaнки.

3. Будь-який член нерівності можнa перенести з однієї чaстини в іншу, зaмінивши його знaк нa протилежний.

4. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме додaтне число.

5. Обидві чaстини нерівності можнa помножити aбо поділити нa одне й те сaме від’ємне число, зaмінивши при цьому знaк нерівності нa протилежний.

Розв’язування нерівностей з однією змінною

Розв’язaння нерівностей зводиться до зaміни його рівносильними більш простими — до нaйпростіших нерівностей виду x > a, x 8, з другої x –1) і n — нaтурaльне число, то n-й степінь суми 1 + х більше aбо дорівнює сумі числa 1 і добутку чисел nx: (1 + x) n ≥ 1 + nx. Н ап риклад : Доведіть, що при кожному дійсному значенні а нерівність є справедливою.

Складемо різницю лівої і правої частин нерівностей й перетворимо її:

.

При будь-якому значенні а утворена різниця – додатна, тому що значення виразу є невід’ємним, а значення виразу – додатним. Отже, при будь-якому значенні а нерівність є справедливою.

Нерівність з однією змінною

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один зі знаків нерівності: > (більше), 4, а число -1 не є розв’язком даної нерівності.

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язками нерівності є деяка множина чисел.

У таблиці наведено деякі числові множини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до заміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Наприклад: Нерівність х+2>3 рівносильна нерівності х+2-2>3-2, тобто х>1.

Наприклад: рівносильна нерівності , тобто х>6.

Перетворимо ліву і праву частини нерівності, тобто розкриємо дужки:

Перенесемо члени, що містять змінну до лівої частини нерівності, а члени, які не містять змінну, у праву частину нерівності, при цьому змінимо знаки членів на протилежні:

Зведемо подібні в лівій і правій частинах нерівності:

Поділимо обидві частини нерівності на -5, змінивши знак нерівності на протилежний:

Отже, розв’язком нерівності є проміжок (-∞;-2].

Системи нерівностей з однією змінною

Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Системою нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

— системи нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

Наприклад: х=3 є розв’язком системи нерівностей

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Читать еще:  Правильный мелкозаглубленный ленточный фундамент

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

1) розв’язати кожну нерівність;

2) знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків кожної з нерівностей.

Обидві нерівності справедливі при х≤-1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х≤-1,5 або числового проміжку (-∞;-1,5].

Розв’язати нерівність −8x +11 , тобто ми перейдемо до нерівності протилежного сенсу.
Отримаємо:

x>3 — розв’язок заданої нерівності.

Для запису розв’язку можна використовувати два варіанти: x>3 або у вигляді числового проміжку.

Позначимо множину розв’язків нерівності на числовій прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку.

Відповідь: x>3 або x∈(3;+∞)

Початковий і середній рівні

1.Виберіть три правильні нерівності: А) Б) В) Г) Д)

2.Укажіть правильні твердження:

1)Якщо то 2)якщо то

3)якщо то 4) якщо , то

3.Доберіть до кожної умови (А-Д) правильний висновок (1-5).

Яка з рівностей є правильною

Тема уроку. Числові та лінійні нерівності.

1. Яку подвійну нерівність задовольняє множина чисел, поданих на рисунку?

3. Який із проміжків є розв’язком нерівності 3х + 2 > х – 8?

4. Яка з нерівностей є правильною?

а) ; б) ; в) ; г) 0,(3) > .

5. Оцініть довжину сторони квадрата а см, знаючи, що його пе­риметр дорівнює Р см і 0,24 0 і п > 0. Порівняйте з нулем вираз т 5 п 6 .

7. Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих чисел з проміж­ку (-4; 5].

а) ; б) 1; в) -4,5; г) -1.

8. Яке з наведених тверджень є неправильним?

а) Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну чис­лову нерівність.

б) Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносиль­ну даній.

в) Число т більше від числа п, якщо т – п — додатне число.

г) Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на будь-яке число, то знак нерівності не зміниться.

1. При яких значеннях b різниця дробів і додатна?

2. Оцініть значення виразу , якщо 2 ≤ m ≤ 3.

3. При яких значеннях х визначена функція ?

4. Розв’яжіть нерівність (х – 1) 2 – (х + 2)(х – 3) ≤ 2х – 1 та запишіть відповідь у вигляді числового проміжку.

5. Доведіть, що вираз (х + 2)(х 2 – 2х + 4) – (х 2 – 2)(х + 1) набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х. Якого наймен­шого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

6. Розв’яжіть нерівність 4 – | x + 9| > 3(| x + 9| – 4).

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

Яка з рівностей є правильною

Тема уроку. Числові та лінійні нерівності.

1. Яку подвійну нерівність задовольняє множина чисел, поданих на рисунку?

3. Який із проміжків є розв’язком нерівності 3х + 2 > х – 8?

4. Яка з нерівностей є правильною?

а) ; б) ; в) ; г) 0,(3) > .

5. Оцініть довжину сторони квадрата а см, знаючи, що його пе­риметр дорівнює Р см і 0,24 0 і п > 0. Порівняйте з нулем вираз т 5 п 6 .

7. Знайдіть середнє арифметичне всіх цілих чисел з проміж­ку (-4; 5].

а) ; б) 1; в) -4,5; г) -1.

8. Яке з наведених тверджень є неправильним?

а) Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну чис­лову нерівність.

б) Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносиль­ну даній.

Читать еще:  Правильный полив перцев в теплице видео

в) Число т більше від числа п, якщо т – п — додатне число.

г) Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на будь-яке число, то знак нерівності не зміниться.

1. При яких значеннях b різниця дробів і додатна?

2. Оцініть значення виразу , якщо 2 ≤ m ≤ 3.

3. При яких значеннях х визначена функція ?

4. Розв’яжіть нерівність (х – 1) 2 – (х + 2)(х – 3) ≤ 2х – 1 та запишіть відповідь у вигляді числового проміжку.

5. Доведіть, що вираз (х + 2)(х 2 – 2х + 4) – (х 2 – 2)(х + 1) набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х. Якого наймен­шого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

6. Розв’яжіть нерівність 4 – | x + 9| > 3(| x + 9| – 4).

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

Яка з рівностей є правильною

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють нерівність.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її назива­ють числовою нерівністю. Такі нерівності бувають пра­вильні і неправильні.

Властивості числових нерівностей

Тут розглядатимемо нерівності виду а d та ін., де а, b, с, d — довільні дійсні числа.

Теорема 4. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо a .

Функція, яку можна задати формулою у = ах 2 + bx + c, де а не = 0, b, с — довільні числа, а х — аргу­мент, називається квадратичною функцією.

Приклади квадратичної функції: у = х 2 , у=х 2 , у = х 2 + 3, у = (х+4) 2 . їх графіки — рівні параболи, тільки по-різному розміщені на координатній площині.

Графік функції у = ах 2 — теж парабола; її вершина

лежить у початку координат, а вітки напрямлені вгору, якщо а>0, або вниз, якщо а 2 +bх+с і у=ах 2 — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перене­сенням.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96). Наприк­лад, область визначення функції у = х 2 —множина всіх дійсних чисел R, область її значень — проміжок [0; ∞). Область визначення і область значень функції у = 2 — проміжки [—2; 2] і [0; 2] (мал. 97).

Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшо­му значенню аргументу відповідає більше (менше) зна­чення функції, то таку функцію називають зростаючою (спадною). Наприклад, функції у — 2х, у = х 3 , у=зростаючі, а функції у = —2х, у=спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної — «опус­кається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окре­мих проміжках. Наприклад, функція у = х 2 на проміж­ку (—∞; 0) спадає, а на (0;∞) зростає.

Якщо графік функції симетричний відносно осі г/, її називають парною. Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною. Функція у = f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(—х) = f(x).

Функція, задана формулою у = х п , де х — аргумент, а п — довільне натуральне число, називається степене­вою функцією з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: у= х, у= х 2 , у = х 3 , у = х 4 , у = х 5 .

Степенева функція з натуральним показником п пар­на, якщо число п парне (мал. 98), або непарна, якщо число п непарне (мал. 99).

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector